Ôn tập lại kim chỉ nan và phía dẫn phương pháp giải các dạng toán về hệ thức lượng vào tam giác nghỉ ngơi lớp 10 qua các ví dụ có giải thuật chi tiết.
Bạn đang xem: Bài tập hệ thức lượng trong tam giác lớp 10
Chúng ta buộc phải nhớ các công thức với định lý trước khi áp dụng vào giải bài xích tập.
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định lí côsinTrong tam giác $ABC$ với $BC = a$, $AC = b$ và $AB = c.$ Ta có: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc.cos A.$ $b^2 = c^2 + a^2 – 2ca.cos B.$ $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab.cos C.$
Áp dụng công thức đường trung tuyến với tam giác $ABC$ và $ADC$ ta có: $AB^2 + BC^2 = 2BE^2 + fracAC^22$ $(1).$ $CD^2 + DA^2 = 2DE^2 + fracAC^22$ $(2).$ trường đoản cú $(1)$ với $(2)$ suy ra: $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = 2left( BE^2 + DE^2 ight) + AC^2.$ mặt khác $EF$ là con đường trung tuyến tam giác $BDF$ nên: $BE^2 + DE^2 = 2EF^2 + fracBD^22.$ Suy ra $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2 + 4EF^2.$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP bài 1: chứng tỏ rằng trong gần như tam giác $ABC$ ta có: a) $a = b.cos C + c.cos B.$ b) $sin A = sin Bcos C + sin Ccos B.$ c) $h_a = 2Rsin Bsin C.$ d) $m_a^2 + m_b^2 + m_c^2$ $ = frac34left( a^2 + b^2 + c^2 ight).$ e) $S_Delta ABC = frac12sqrt AB^2.AC^2 – (overrightarrow AB .overrightarrow AC )^2 .$
a) Áp dụng định lí côsin ta có: $VP = b.fraca^2 + b^2 – c^22ab$ $ + c.fracc^2 + a^2 – b^22ca$ $ = fraca^2 + b^2 – c^2 + c^2 + a^2 – b^22a$ $ = a = VT.$ b) $sin A = sin Bcos C + sin Ccos B$ $ Leftrightarrow fraca2R = fracb2R.cos C + fracc2R.cos B$ $ Leftrightarrow a = bcos C + ccos B$ (câu a). C) $h_a = 2Rsin Bsin C$ $ Leftrightarrow frac2Sa = 2Rfracb2Rsin C$ $ Leftrightarrow S = frac12absin C$ (đúng). D) Áp dụng bí quyết đường trung tuyến. E) $sqrt AB^2.AC^2 – (overrightarrow AB. overrightarrow AC )^2 $ $ = AB.ACsqrt 1 – cos ^2A $ $ = AB.AC.sin A.$ Từ kia suy ra điều cần chứng minh.
Bài 2: mang đến tam giác $ABC.$ chứng minh rằng: a) $b + c = 2a$ $ Leftrightarrow frac2h_a = frac1h_b + frac1h_c.$ b) Góc $A$ vuông $ Leftrightarrow m_b^2 + m_c^2 = 5m_a^2.$
a) $b + c = 2a$ $ Leftrightarrow frac2Sh_b + frac2Sh_c = 2.frac2Sh_a$ $ Leftrightarrow frac1h_b + frac1h_c = frac2h_a.$ b) $m_b^2 + m_c^2 = 5m_a^2$ $ Leftrightarrow frac2left( a^2 + c^2 ight) – b^24$ $ + frac2left( a^2 + b^2 ight) – c^24$ $ = 5.frac2left( b^2 + c^2 ight) – a^24.$ $ Leftrightarrow b^2 + c^2 = a^2$ $ Leftrightarrow $ góc $A$ vuông.
Xem thêm: Những Sáng Tác Của Nhạc Sĩ Nguyễn Văn Trung, Nguyễn Văn Chung Vượt Qua Nỗi Buồn Ly Hôn
Bài 3: cho tam giác $ABC$ vừa lòng $a^4 = b^4 + c^4.$ chứng minh rằng: a) Tam giác $ABC$ nhọn. B) $2sin ^2A = an B an C.$
a) hay thấy $a > b$, $a > c$ $ Rightarrow $ góc $A$ là bự nhất. Với $a^4 = b^4 + c^4 mặt khác theo định lí côsin ta có: $cos A = fracb^2 + c^2 – a^22bc$ $ Rightarrow cos A > 0.$ cho nên $widehat A b) $2sin ^2A = an B an C$ $ Leftrightarrow 2sin ^2Acos Bcos C = sin Bsin C.$ $ Leftrightarrow 2left( fraca2R ight)^2.fraca^2 + c^2 – b^22ac.fraca^2 + b^2 – c^22ab$ $ = fracb2R.fracc2R$ $ Leftrightarrow a^4 = b^4 + c^4.$
Bài 4: gọi $S$ là diện tích tam giác $ABC.$ chứng tỏ rằng: a) $S = 2R^2sin Asin Bsin C.$ b) $S = Rr(sin A + sin B + sin C).$
a) Ta tất cả $S = fracabc4R$ $ = frac2Rsin A.2Rsin B.2Rsin C4R$ $ = 2R^2sin Asin Bsin C.$ b) $S = pr$ $ = fraca + b + c2r$ $ = frac2Rsin A + 2Rsin B + 2Rsin C2r.$
Bài 5: đến tứ giác lồi $ABCD$, gọi $alpha $ là góc hợp vị hai đường chéo $AC$ cùng $BD.$ chứng tỏ diện tích $S$ của tứ giác cho bởi vì công thức: $S = frac12AC.BD.sin alpha .$
Gọi $I$ là giao điểm hai tuyến phố chéo. Khi đó: $S = S_ABI + S_BC1 + S_CDI + S_DAI.$ $ = frac12AI.BI.sin widehat AIB$ $ + frac12BI.CI.sin widehat BIC$ $ + frac12CI.DI.sin widehat CID$ $ + frac12DI.AI.sin widehat DIA.$ Ta có những góc $widehat AIB$, $widehat BIC$, $widehat CID$ cùng $widehat DIA$ đôi một bù nhau suy ra: $sin widehat AIB = sin widehat BIC$ $ = sin widehat CID = sin widehat DIA$ $ = sin alpha .$ cho nên $S = frac12BI.AC.sin alpha $ $ + frac12ID.AC.sin alpha $ $ = frac12AC.BD.sin alpha .$
DẠNG TOÁN 4: NHẬN DẠNG TAM GIÁC1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng định lí côsin, định lí sin, phương pháp đường trung tuyến, bí quyết tính diện tích tam giác để biến hóa giả thiết về hệ thức tương tác cạnh (hoặc góc) từ đó suy ra dạng của tam giác.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: mang đến tam giác $ABC$ chấp nhận $sin C = 2sin Bcos A.$ chứng minh rằng tam giác $ABC$ cân.
Áp dụng định lí côsin với sin ta có: $sin C = 2sin Bcos A$ $ Leftrightarrow fracc2R = 2.fracb2R.fracb^2 + c^2 – a^22bc.$ Suy ra tam giác $ABC$ cân tại đỉnh $C.$
Ví dụ 2: cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C.$ chứng minh rằng tam giác $ABC$ vuông.
Ta có: $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C$ $ Leftrightarrow sin A(cos B + cos C)$ $ = sin B + sin C.$ $ Leftrightarrow fraca2Rleft( fracc^2 + a^2 – b^22ca + fraca^2 + b^2 – c^22ab ight)$ $ = fracb + c2R.$ $ Leftrightarrow bleft( c^2 + a^2 – b^2 ight) + cleft( a^2 + b^2 – c^2 ight)$ $ = 2b^2c + 2c^2b.$ $ Leftrightarrow b^3 + c^3 + b^2c + bc^2 – a^2b – a^2c = 0$ $ Leftrightarrow (b + c)left( b^2 + c^2 ight) – a^2(b + c) = 0.$ $b^2 + c^2 = a^2$ $ Leftrightarrow Delta ABC$ vuông tại $A.$
Ví dụ 3: dìm dạng tam giác $ABC$ trong những trường đúng theo sau: a) $asin A + bsin B + csin C$ $ = h_a + h_b + h_c.$ b) $fraccos ^2A + cos ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + cot ^2B ight).$
a) Áp dụng công thức diện tích s ta có $S = frac12bcsin A = frac12ah_a$ suy ra: $asin A + bsin B + csin C$ $ = h_a + h_b + h_c$ $ Leftrightarrow a.frac2Sbc + b.frac2Sca + c.frac2Sab$ $ = frac2Sa + frac2Sb + frac2Sc.$ $ Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ $ Leftrightarrow (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 = 0.$ $ Leftrightarrow a = b = c.$ Vậy tam giác $ABC$ đều. B) Ta có: $fraccos ^2A + cos ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + cot ^2B ight).$ $ Leftrightarrow fraccos ^2A + cos ^2B + sin ^2A + sin ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + 1 + cot ^2B + 1 ight).$ $ Leftrightarrow frac2sin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( frac1sin ^2A + frac1sin ^2B ight)$ $ Leftrightarrow left( sin ^2A + sin ^2B ight)^2$ $ = 4sin ^2Asin ^2B.$ $ Leftrightarrow sin ^2A = sin ^2B$ $ Leftrightarrow left( fraca2R ight)^2 = left( fracb2R ight)^2$ $ Leftrightarrow a = b$ $ Leftrightarrow Delta ABC$ cân tại $C.$
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP bài bác 1: cho tam giác $ABC.$ chứng minh tam giác $ABC$ cân nặng nếu $h_a = csin A.$
Sử dụng công thức $S = frac12ah_a = frac12bcsin A$ ta có: $h_a = csin A$$ Leftrightarrow bh_a = ah_a$ $ Leftrightarrow a = b$ suy ra tam giác $ABC$ cân nặng tại $C.$
Bài 2: cho tam giác $ABC.$ chứng tỏ tam giác $ABC$ cân nếu $4m_a^2 = b(b + 4ccos A).$
Sử dụng công thức đường trung đường và định lí sin. $4m_a^2 = b(b + 4ccos A)$ $ Leftrightarrow 4frac2left( b^2 + c^2 ight) – a^24$ $ = bleft( b + 4c.fracb^2 + c^2 – a^22bc ight)$ $ Leftrightarrow a = b.$
Bài 3: chứng minh rằng tam giác $ABC$ hầu như khi còn chỉ khi: $a^2 + b^2 + c^2 = 36r^2.$
Ta có: $r^2 = fracS^2p^2$ $ = frac(p – a)(p – b)(p – c)p.$ Theo Cauchy: $(p – a)(p – b)(p – c)$ $ le left( frac3p – a – b – c3 ight)^3$ $ = left( fracp3 ight)^3.$ Suy ra $36r^2 le frac4p^33p$ $ = frac(a + b + c)^23$ $ le a^2 + b^2 + c^2.$ dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi $a = b = c$ tốt tam giác $ABC$ đều.
Bài 4: đến tam giác $ABC.$ search góc $A$ trong tam giác biết những cạnh $a$, $b$, $c$ toại nguyện hệ thức: $bleft( b^2 – a^2 ight) = cleft( c^2 – a^2 ight)$ $(b e c).$
$bleft( b^2 – a^2 ight) = cleft( c^2 – a^2 ight)$ $ Leftrightarrow b^3 – c^3 = a^2(b – c)$ $ Leftrightarrow b^2 + bc + c^2 = a^2.$ Theo định lí côsin thì $a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A$ $ Leftrightarrow cos A = frac12$ $ Leftrightarrow widehat A = 60^0.$
